关于几何学的作文《几何春秋》

几何学发源于尼罗河畔。在生产实践中，古埃及人为了测量土地，划分田界，兴修水利，进行建筑，取得了几何学的初步成果。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得运用欧多克斯及奥托利库斯曾部分采用过的严密逻辑推理的方法，搜集、整理几何知识并使之系统化，编纂成举世闻名的《几何原本》一书，创立了欧几里得几何学。

欧氏几何从客观物体中抽象出不加定义的、原始的点、直线和平面的概念。人类在长期的社会生活中总结出的、其真理性不容置疑的几何命题，在欧氏几何中就成了所谓公理(或公设)，如“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”等。1899年，希尔伯特在其名著《几何基础》中，提出了一套在当时最令人满意的公理系统。欧氏几何就从23个定义，5条公设和5条定理出发，按逻辑次序，系统而有组织地排列命题，并以严格的演绎方法证明命题。彭加勒认为，那种能从最少的前提推导出最多的数学构造是美的。欧氏几何的这种“美”，使爱因斯坦大为赞赏，并感慨地说：“如果欧几里得几何学未能激起你少年时代的创造热情，那么你生就不是一位理论家。”

但是，在科学发展的进程中，欧氏几何的缺陷却越来越明显。在《几何原本》中有条“第五公设”：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个内角之和小于两直角，则将这两条直线向该侧延长后必定相交。这条公设的冗长含混引起了人们的疑虑，但证明它的追求都相继失败了。达朗贝尔称之为“几何原理中的家丑”。

1826年，罗巴切夫斯基在一篇论文中宣布了他的研究成果，标志着非欧几何的创建。罗氏作出与欧氏平行公设相反的断言：通过不在已知直线上的一点，至少有两条直线与已知直线平行。以此作为公理，而与欧氏几何的其他命题结合推导，他始终没有得出矛盾。于是他作出两个结论：(一)第五公设不能由其他公理和定理来证明;(二)在否定公设的基础上可以展开一系列的推论——定理，这些定理并不包含矛盾，形成逻辑上可能的一套理论。在这新几何中，三角形内角之和将小于180°。

三十年后，黎曼用另一个论断取代了平行公设，即过直线外一点不可能引一条同该直线不相交的直线。由此他推出了一个新的非欧几何——黎曼几何。在黎曼几何中，三角形内角之和将大于180°。那么究竟什么几何更接近于现实呢?实际测量表明欧氏几何更符合客观实际，但相对论认为，欧氏几何不是描述物质空间最精确的方法。孰优孰劣，只能靠实践检验了。

随着射影几何的发展，到19世纪末期，欧氏几何及非欧几何被统一在射影几何的体系内。克莱因称欧氏几何为“抛物几何”，罗氏几何叫“双曲几何”，黎曼几何叫“椭圆几何”。射影几何诞生于文艺复兴时期，起源于物体在平面上的投影过程所得出的理论。1822年，彭赛列从几何图形中分出一部分特别的性质作为研究对象，这种性质叫射影性质，研究图形的射影性质的几何即射影几何。

射影几何产生的同时，费马和笛卡尔用代数法研究几何问题取得成功，首创了解析几何。解析几何的中心是把代数方程与曲线、曲面等联系起来，使几何图形与代数语言相互转换，达到数形的统一。它把纯几何法不能或难解的问题变成代数运算，从而使其相对易解。解析几何是符号代数学的成果，同时使函数概念得以确立并获得新的发展，这又是微积分产生的基础。

18世纪微积分发展迅速。1731年，微分几何应运而生。这种几何以数学分析、微分拓扑为研究工具，主要讨论光滑曲线与曲面的性质。微分几何在理论物理——如引力理论和规范场——的研究中得到广泛应用。

康托尔的点集理论扩大形的范围，庞加莱的拓扑学使形的连续性成为几何研究的对象：这些都赋予几何学新的内容。现代数学的爆炸性发展，更是令几何分支层出不穷、面目一新。谁也无法预料，明天的几何学将以何等姿态展现在人们面前。

（重庆南开中学 甘 斌）